087章 高斯定理的估算
“这位同学,请保持清醒,不要在考场上打瞌睡。”监考老师十分严肃的提醒沈奇。
“嗯,抱歉。”沈奇揉揉太阳穴,最近一段时间改《奥数冠军沈奇的数学技巧》的稿子,改的他心力憔悴,没怎么休息好。
“赶紧搞定最后一道计算题,搞完了回家补觉。”沈奇打起精神,仔细审题。
审完最后一道25分的计算题,沈奇终于有了几分兴趣:“就这最后一题,像是正规物理老师出的题。”
物理计算题大多配有示意图,不配图的物理题一般呈现两种极端,一种是简单的想打瞌睡,另一种是难的吊炸天。
初赛镇宅之题的分值最高,25分,这道计算配有示意图。
示意图是一个圆,从圆心O到圆周七点钟方位画有一条虚线R,这条虚线R是圆的半径。在圆心O旁边不远处有个小黑点mq。
本题的文字描述是:
“如图所示,电荷线密度为λ(λ>0),半径为R的均匀带电圆环固定在光滑的水平绝缘桌面上。质量为m、电量为q的光滑小球,静止放在桌面上与圆环中心O点非常接近的位置处。”
“设圆环上电荷的分布不受小球电荷的影响,试判断小球之后的运动是否为振动?”
“若为振动,设小球初始位置与O点的距离r0<<R,试用适当的近似方法估算小球的振动周期T。”
估算与严格计算的区别在于,估算可以绕过复杂的数学演算,直接获得正确的定性结论和比较接近的粗略定量结果。
就初赛最后一道计算题而言,小球的运动是振动还是非振动,沈奇必须给出定性结论,判断不得有误。这是第一步。
对于同一道物理题,如果采用估算方法,可选择的途径往往不止一条。
很明显,这是道电磁学题目,沈奇在诸多种估算方法中,选择静电场高斯定理为依据开始答题。
沈奇作出一个辅助图,取通过O点并与圆环平面垂直的轴为x轴。
在圆平面上以O点为圆心,作半径为r的圆。
将此圆沿x轴的正负方向各延展l,一个圆柱面就此形成。
沈奇取此圆柱面为高斯面,因其中无电荷,根据高斯定理可得:
∯E*ds=0
高斯定理一祭出,真相越来越清晰。
带正电的小球所受静电力总是指向圆环中心O点,为恢复性保守力,小球的运动为振动,振动中心就是O点。
沈奇很快解决了第一问,这就是定性给结论,接受过物竞培训的学生应该都能给出正确的结论性判断。
第二问要求沈奇估算小球的振动周期T,稍微麻烦一点点。
圆柱两端面的电通量可以近似的用x轴上的电场强度来计算,沈奇作出计算:
E1=λ(2πR)l/4πε(R^2+l^2)^3/2=λRl/2ε(R^2+l^2)^3/2
那么通过两端面的电通量近似值就出来了:
∬两端面E*ds≈E1*2πr^2
通过圆柱侧面的电通量可以近似的用圆平面上与O点相距为r处的电场强度Er来计算,根据高斯定理可得:
∯圆柱面E*ds=∬两端面E*ds+∬侧面E*ds=0
那么带电小球在r处所受静电力为:
Fr=qEr=-λq/4εR^2*r
考虑到线性恢复力,小球在它的作用下将绕O点做简谐振动。
所以周期T=4πR根号εm/λq
“搞定。”历经CMO乃至IMO的洗礼,沈奇在学科竞赛的赛场上已算一位经验丰富的老将。
数竞也好,物竞也罢,竞赛模式大同小异。
既然是老将,就不能骄傲自大、暴躁浮夸,必须时刻保持严谨的竞赛作风。
沈奇检查了一遍考卷,然后交卷,此时距开考过去了30多分钟。
“这尼玛?”
“卧槽?”
“这么早交卷?”
“不停的写,写满试卷也得30分钟吧?”
“这货不用思考的?还是瞎几把写?”
同一考场的其他选手明显受到沈奇交卷的影响,各自在心中高呼MMP。
虽然CPhO全国初赛的考卷不难,但这么早交卷也属罕见。
物竞圈子里也有眼尖的选手:“提前交卷这货……莫非是沈奇?那个国际奥数竞赛的冠军?”
沈奇走到考场门口,阿嚏,忽然打了个喷嚏,脊梁骨竟冒出一丝寒意。
“谁在骂我?”沈奇猛然回头,眼神犀利扫视众选手。
“草!”
众选手菊花乱颤,遂埋头继续答题。
“喂,交了卷请迅速离开考场。”监考老师催促沈奇,并快速审视沈奇的试卷,该写的都写满了,有理有据,不像瞎蒙,这种情况允许提前两个多小时交卷。
沈奇大步离去,在考场外见到了穆蓉。
“这……沈奇你也太快了吧?”穆蓉有些意外。
沈奇略显从容:“一般一般,亚洲第三。”
“那亚洲前二是谁?”穆蓉忍住不让自己发笑。
沈奇一本正经的说到:“是校长和穆老师。”
“哈哈。”穆蓉终于忍不住笑了起来,又觉得疑惑:“你这政治觉悟,政治考试不可能拿B吧?”她也听说了,沈奇政治考试拿了个B,其余几门都是A。
“哎,谁不曾年轻过,懵懂过。”沈奇一想起政治考试就不爽,黑历史啊,无法抹去的污点。当然了,高二下学期之前沈奇黑历史挺多的,既然无法抹去,那便坦然面对。
沈奇伸了个懒腰:“哈欠……好困,我要睡觉了。”
“去吧,回家好好休息,辛苦了。”穆蓉没有跟沈奇讨论任何一题,沈奇的行动说明了一切。
初赛的阅卷工作将在一到两周内完成,CPhO的复赛安排在四月中旬举行。
第二天,沈奇在南港二中遇见了几个校物竞队的队友。
“我估完分,觉得能考个140?”物竞队的队友林星宇说到。
“我错了一道选择题、两道填空题,两道计算题,初赛得分大概在120到130之间。”另一位队友白玲烨说到。
“你呢沈奇大佬?”林星宇问到。
“我估计在200分左右?或许最后一道计算题某些步骤要扣掉一两分,也说不准,不知道。”沈奇说到。
“牛!”林星宇对沈奇有种盲目的崇拜,200分就是满分。
“完了完了,初赛晋级分数线被沈奇拉高了。”白玲烨苦哈哈的说到。
“白玲烨你数学怕是不及格哦。”林星宇说到,“全国那么多选手参赛,一个满分就拉高分数线了?吐槽都不会,差评!”
……
……
(昨天初二在亲戚家喝大了,刚起床,脑壳疼,起来发一章存稿然后接着睡,今天估计码不了几个字,晚上还要去其他亲戚家吃饭,在我老家过年,20岁以上的男人不喝酒是不被允许的。
接到起点的通知,3月1日上架,我得存点稿,今天估计存一章稿都难,所以只能更新一章。)
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“嗯,抱歉。”沈奇揉揉太阳穴,最近一段时间改《奥数冠军沈奇的数学技巧》的稿子,改的他心力憔悴,没怎么休息好。
“赶紧搞定最后一道计算题,搞完了回家补觉。”沈奇打起精神,仔细审题。
审完最后一道25分的计算题,沈奇终于有了几分兴趣:“就这最后一题,像是正规物理老师出的题。”
物理计算题大多配有示意图,不配图的物理题一般呈现两种极端,一种是简单的想打瞌睡,另一种是难的吊炸天。
初赛镇宅之题的分值最高,25分,这道计算配有示意图。
示意图是一个圆,从圆心O到圆周七点钟方位画有一条虚线R,这条虚线R是圆的半径。在圆心O旁边不远处有个小黑点mq。
本题的文字描述是:
“如图所示,电荷线密度为λ(λ>0),半径为R的均匀带电圆环固定在光滑的水平绝缘桌面上。质量为m、电量为q的光滑小球,静止放在桌面上与圆环中心O点非常接近的位置处。”
“设圆环上电荷的分布不受小球电荷的影响,试判断小球之后的运动是否为振动?”
“若为振动,设小球初始位置与O点的距离r0<<R,试用适当的近似方法估算小球的振动周期T。”
估算与严格计算的区别在于,估算可以绕过复杂的数学演算,直接获得正确的定性结论和比较接近的粗略定量结果。
就初赛最后一道计算题而言,小球的运动是振动还是非振动,沈奇必须给出定性结论,判断不得有误。这是第一步。
对于同一道物理题,如果采用估算方法,可选择的途径往往不止一条。
很明显,这是道电磁学题目,沈奇在诸多种估算方法中,选择静电场高斯定理为依据开始答题。
沈奇作出一个辅助图,取通过O点并与圆环平面垂直的轴为x轴。
在圆平面上以O点为圆心,作半径为r的圆。
将此圆沿x轴的正负方向各延展l,一个圆柱面就此形成。
沈奇取此圆柱面为高斯面,因其中无电荷,根据高斯定理可得:
∯E*ds=0
高斯定理一祭出,真相越来越清晰。
带正电的小球所受静电力总是指向圆环中心O点,为恢复性保守力,小球的运动为振动,振动中心就是O点。
沈奇很快解决了第一问,这就是定性给结论,接受过物竞培训的学生应该都能给出正确的结论性判断。
第二问要求沈奇估算小球的振动周期T,稍微麻烦一点点。
圆柱两端面的电通量可以近似的用x轴上的电场强度来计算,沈奇作出计算:
E1=λ(2πR)l/4πε(R^2+l^2)^3/2=λRl/2ε(R^2+l^2)^3/2
那么通过两端面的电通量近似值就出来了:
∬两端面E*ds≈E1*2πr^2
通过圆柱侧面的电通量可以近似的用圆平面上与O点相距为r处的电场强度Er来计算,根据高斯定理可得:
∯圆柱面E*ds=∬两端面E*ds+∬侧面E*ds=0
那么带电小球在r处所受静电力为:
Fr=qEr=-λq/4εR^2*r
考虑到线性恢复力,小球在它的作用下将绕O点做简谐振动。
所以周期T=4πR根号εm/λq
“搞定。”历经CMO乃至IMO的洗礼,沈奇在学科竞赛的赛场上已算一位经验丰富的老将。
数竞也好,物竞也罢,竞赛模式大同小异。
既然是老将,就不能骄傲自大、暴躁浮夸,必须时刻保持严谨的竞赛作风。
沈奇检查了一遍考卷,然后交卷,此时距开考过去了30多分钟。
“这尼玛?”
“卧槽?”
“这么早交卷?”
“不停的写,写满试卷也得30分钟吧?”
“这货不用思考的?还是瞎几把写?”
同一考场的其他选手明显受到沈奇交卷的影响,各自在心中高呼MMP。
虽然CPhO全国初赛的考卷不难,但这么早交卷也属罕见。
物竞圈子里也有眼尖的选手:“提前交卷这货……莫非是沈奇?那个国际奥数竞赛的冠军?”
沈奇走到考场门口,阿嚏,忽然打了个喷嚏,脊梁骨竟冒出一丝寒意。
“谁在骂我?”沈奇猛然回头,眼神犀利扫视众选手。
“草!”
众选手菊花乱颤,遂埋头继续答题。
“喂,交了卷请迅速离开考场。”监考老师催促沈奇,并快速审视沈奇的试卷,该写的都写满了,有理有据,不像瞎蒙,这种情况允许提前两个多小时交卷。
沈奇大步离去,在考场外见到了穆蓉。
“这……沈奇你也太快了吧?”穆蓉有些意外。
沈奇略显从容:“一般一般,亚洲第三。”
“那亚洲前二是谁?”穆蓉忍住不让自己发笑。
沈奇一本正经的说到:“是校长和穆老师。”
“哈哈。”穆蓉终于忍不住笑了起来,又觉得疑惑:“你这政治觉悟,政治考试不可能拿B吧?”她也听说了,沈奇政治考试拿了个B,其余几门都是A。
“哎,谁不曾年轻过,懵懂过。”沈奇一想起政治考试就不爽,黑历史啊,无法抹去的污点。当然了,高二下学期之前沈奇黑历史挺多的,既然无法抹去,那便坦然面对。
沈奇伸了个懒腰:“哈欠……好困,我要睡觉了。”
“去吧,回家好好休息,辛苦了。”穆蓉没有跟沈奇讨论任何一题,沈奇的行动说明了一切。
初赛的阅卷工作将在一到两周内完成,CPhO的复赛安排在四月中旬举行。
第二天,沈奇在南港二中遇见了几个校物竞队的队友。
“我估完分,觉得能考个140?”物竞队的队友林星宇说到。
“我错了一道选择题、两道填空题,两道计算题,初赛得分大概在120到130之间。”另一位队友白玲烨说到。
“你呢沈奇大佬?”林星宇问到。
“我估计在200分左右?或许最后一道计算题某些步骤要扣掉一两分,也说不准,不知道。”沈奇说到。
“牛!”林星宇对沈奇有种盲目的崇拜,200分就是满分。
“完了完了,初赛晋级分数线被沈奇拉高了。”白玲烨苦哈哈的说到。
“白玲烨你数学怕是不及格哦。”林星宇说到,“全国那么多选手参赛,一个满分就拉高分数线了?吐槽都不会,差评!”
……
……
(昨天初二在亲戚家喝大了,刚起床,脑壳疼,起来发一章存稿然后接着睡,今天估计码不了几个字,晚上还要去其他亲戚家吃饭,在我老家过年,20岁以上的男人不喝酒是不被允许的。
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